全微分とは何を表すのですか?接平面ですか?

Writer: admin Type: spinning Date: 2019-01-27 00:00
全微分とは何を表すのですか?接平面ですか?教えていただきたいです。お願いします。共感した0###素朴で分かりやすい例だけ示す。偏微分は曲面上のある点において、ある方向に微小量変化したときの変化割合(の極限)を表す。例えば東に1km移動したときに海抜が何m上昇したかを示す。同時に他の方向にも変化した場合,例えば東に1km,北に1kmした場合は東に移動したときの上昇と北に移動したときの上昇量を合わせれば求められる。全微分は、東方向の偏微分(単位距離あたりの上昇量)に移動距離をかけたものと北方向の偏微分(単位距離あたりの上昇量)に移動距離をかけたものを合わせたもの。df=(∂f/∂x)dt+(∂f/∂y)dt(∂f/∂x)が東に移動したときの上昇割合(∂f/∂y)が北に移動したときの上昇割合dtが移動距離(∂f/∂x)dtが東に移動したときの上昇距離(∂f/∂y)dtが北に移動したときの上昇距離ナイス0
###この質問は投票によってベストアンサーに選ばれました!###全微分は全微分以外の何物でもないので全微分という名称がつけられているのです。1 変数関数の微分(微分係数や導関数)も本当は接線の傾きでは【ない】ので、「微分」という新しい名称がつけられていることを思い出してください。↑ 多項式等の特別な関数については微分を使うことなく接線の傾きを定義でき、それと微分は同じものになりますから、「接線の傾きという概念を一般の関数へ拡張したもの」とは言えます。これだけでは納得できないかもしれませんので、全微分が誕生する背景や役割について少しだけ書いておきます。まず、1 変数関数の場合、微分(微分可能性)の定義は 3 通りほどあります。(1) 高校流(平均変化率の極限)(2) Stolz 流(1 次式で近似できるときに微分可能とする定義)(3) Carathéodory 流(1) は直感的に受け入れやすい反面、多変数化に向かないだけでなく、合成関数の微分公式 { f(g(x)) }' = f'(g(x))・g'(x) の証明が困難になってしまうという欠点があります(砂田利一「基幹講座 数学 微分積分」参照)。(2) と (3) はこれらを解消できます。(3) は x → a のときに f(x) - f(a) = (x - a)・g(x) を満たす関数 g(x) が存在するときに微分可能とする定義です(細かい条件等は省略しています)。ここで、g(x) はもちろん f'(x) です(つまり、高校流の定義の分母を払って定義したのが Carathéodory 流の定義です)。これを 2 変数関数に拡張すると、f(x, y) - f(a, b) = g(x, y)・(x - a) + h(x, y)・(y - b) ……(★)を満たす関数が存在するときに微分可能(全微分可能)と定義することになります。ここで、g(x, y) と h(x, y) は、それぞれ偏導関数 f_x(x, y) と f_y(x, y) になります。(★)は (x, y) → (a, b) のときに成り立つ等式であり、そのときの 3 つの差 f(x, y) - f(a, b)、x - a、y - b をそれぞれ dz、dx、dy と置き換えると全微分dz = f_x(x, y)・dx + f_y(x, y)・dyになります。これを全微分の定義とする教科書もあり、その場合 dz、dx、dy は「微小変化(量)を表す変数」と言えます。また、(2) で定義される 1 次式(接線や接平面)と (3) から定義される全微分が混同される所以でもあります(全微分を接線・接平面と見做して近似値を計算することがあります)。一方、全微分を dt で(形式的に)割ると、dz/dt = f_x(x, y)・dx/dt + f_y(x, y)・dy/dtとなり、これは 2 変数関数の場合の合成関数の微分法ですから、「合成関数の微分法の分母を払った式」を「全微分」定義する方法もあります。この場合、全微分は形式的な定義と言えます(dt 等で割って初めて意味をなす)。経済学の教科書ではこの考え方で全微分を利用し、陰関数の微分公式を導出していることが多いようです(残念ながら証明は省略されていることが多いようです)。さらに進んだ話題は例えば小林昭七「曲線と曲面の微分幾何」にあります(特に 49 ページ参照)。ナイス0
###久々に名回答を見た気がする単に記号的にそう記す事を規定しているだけだったはずナイス0
###全微分とは厳密には「全微分可能」という概念であって何か「モノ」を表しているわけではありません。しかし、世の中には2変数関数fの全微分とはdf=f_xdx+f_ydyだと定義する本もあります。しかし我々はそもそも「dx」とは何か答えることができません。「dx」とは「微小量だ」と知ったかぶる輩には「微小量とは何か」と聞くと意味の分からないことを喚き続けるだけです。つまり、df=f_xdx+f_ydyが全微分だ強弁している本に従うなら、この文字列が全微分だとしか言いようがありません。この後知ったぶった回答者が現れるかもしれませんが、何を信じるかはあなた次第です。ナイス0

 

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